Mein Hyundai Elantra, Baujahr 2000, springt nicht an...anscheinend

Hallo! Ich brauche Hilfe bei der Fehlersuche an meinem Auto. Es springt anscheinend wegen fehlendem Zündfunken nicht an. Hier die ersten Symptome:

Beim ersten Mal sprang das Auto gar nicht an; es machte ein Geräusch wie ein Maschinengewehr, was darauf hindeutet, dass der Anlasser wegen einer schwachen Batterie durchrutschte. Ich ließ das Auto einen Tag lang stehen. Am nächsten Tag sprang es sofort an. Ich fuhr drei weitere Tage damit, aber es sprang immer noch schlecht an. Ich drehte den Schlüssel, und es brauchte zwei oder drei Versuche. Am vierten Tag ging es gar nicht mehr. Ich versuchte es ungefähr viermal, wollte aber die Batterie nicht entladen. Ich ließ es zwei Tage lang stehen. Am vierten Tag sprang es wieder sofort an, und ich ließ es eine halbe Stunde laufen. Dann stellte ich es ab, und am nächsten Tag sprang es wieder sofort an, lief aber nur etwa eine Minute, bevor es wieder ausging. Seitdem springt es nicht mehr an.

Ich habe das Zündmodul ausgetauscht – das ist der Anschluss, an dem die Zündkerzenkabel angeschlossen sind, und quasi der Verteiler.
Ich habe alle Sicherungen geprüft, sie scheinen in Ordnung zu sein.
Ich habe den Luft- und Kraftstofffilter gewechselt.
Die Kraftstoffpumpe funktioniert.
Auch die Stromversorgung der Pumpe ist intakt.
Der Zahnriemen ist unbeschädigt.
Wir haben Zündspray verwendet, das über den Lufteinlass eingesprüht wird.

Ich kann das Problem nicht lösen. Könnte mir jemand Tipps geben, wie ich die Ursache genauer diagnostizieren kann?

Vielen Dank für Ihre Hilfe.